En matemáticas y física, un campo tensorial asigna un tensor a cada punto de un espacio matemático (normalmente un espacio euclídeo o una variedad). Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial, geometría algebraica, relatividad general, en el análisis de tensiones y deformaciones en materiales y en numerosas aplicaciones en ciencias físicas e ingeniería. Como un tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo la celeridad) y un vector (un número puro más una dirección, como la velocidad), un campo tensorial es una generalización de un campo escalar o campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector para cada punto del espacio. Si un tensor se define en un conjunto de campos vectoriales sobre un módulo , se denomina campo tensorial definido en .O'Neill, Barrett. Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity
Muchas estructuras matemáticas llamadas tensores también son campos tensoriales. Por ejemplo, el tensor de curvatura es un campo tensorial, ya que asocia un tensor a cada punto de una variedad de Riemann, que es un espacio topológico.
Definición Sea M una variedad, como por ejemplo un plano Rn.
De manera equivalente, es una colección de elementos Tx ∈ Vx⊗p ⊗ (Vx*)⊗q para todos los puntos x ∈ M, organizándolos mediante una aplicación suave T : M → V⊗p ⊗ (V*)⊗q. Los elementos Tx se denominan tensores.
A menudo se toma V = TM como el fibrado tangente de M.
Introducción Un campo tensorial es aquel en que cada punto del espacio lleva asociado un tensor. Es una asignación de una aplicación multilineal a cada punto de un dominio del espacio. En física, también se llama campo tensorial a cualquier magnitud física que puede ser representada por una asignación del tipo anterior definida sobre una región del espacio físico.
Campos tensoriales en matemática Dado una región abierta y conexa Ω en se define formalmente un campo tensorial a una aplicación (sección) cuyos valores son tensores:
Donde Trs es el conjunto de tensores r veces covariantes y s veces contravariantes. Decimos que T es un campo vectorial Ck si T es k veces continuamente diferenciable en Ω. Obsérvese que:
Si (r, s) = (0,0) el campo tensorial es un campo escalar convencional. Si (r, s) = (1,0) o (0,1) el campo tensorial es un campo vectorial convencional. Si r+s = 2 el campo tensorial se puede visualizar como un espacio n-dimensional con una matriz de n×n unida a cada punto de Ω.
Campos tensoriales en física Diversas magntiudes físicas vienen representadas por un campo tensorial, algunos ejemplos son:
Campo electromagnético, en electrodinámica clásica. Campo gravitatorio, en teoría de la relatividad general. Campo de tensiones de un sólido, en mecánica de sólidos.
Interpretación geométrica Intuitivamente, un campo vectorial se visualiza mejor como una flecha adjunta a cada punto de una región, con longitud y dirección variables. Un ejemplo de un campo vectorial en un espacio curvado es un mapa meteorológico que muestra la velocidad horizontal del viento en cada punto de la superficie de la Tierra.
Considérense ahora campos más complicados. Por ejemplo, si la variedad es riemanniana, entonces tiene un campo métrico , de modo que dados dos vectores cualesquiera en el punto , su producto interno es . El campo podría darse en forma matricial, pero depende de una elección de coordenadas. En cambio, podría expresarse como un elipsoide de radio 1 en cada punto, que no tiene coordenadas. Aplicado a la superficie de la Tierra, esto es la indicatriz de Tissot.
En general, se desea especificar campos tensoriales de forma independiente de las coordenadas: deben existir independientemente de la latitud y de la longitud, o de cualquier proyección cartográfica particular que se esté usando para introducir coordenadas numéricas.
A través de transformaciones de coordenadas Siguiendo a y , la idea de tensor se basa en un concepto de sistema de referencia (o sistema de coordenadas), que puede ser fijo (en relación con algún marco de referencia de fondo), pero en general se le puede permitir variar dentro de alguna clase de transformaciones de estos sistemas de coordenadas.El término jan Arnoldus Schouten empleado en la traducción al inglés de Schouten ya no se utiliza.
Por ejemplo, las coordenadas que pertenecen al espacio coordenado real de n dimensiones pueden estar sujetas a transformaciones afines arbitrarias:
(con la suma implícita de índices n-dimensionales). Un vector covariante, o covector, es un sistema de funciones que se transforma bajo esta transformación afín según la regla
La lista de vectores de una base de coordenadas cartesianas se transforma como un covector, ya que bajo la transformación afín . Un vector contravariante es un sistema de funciones de coordenadas que, bajo tal transformación afín, se modifica de la manera siguiente:
Este es precisamente el requisito necesario para garantizar que la cantidad sea un objeto invariante que no dependa del sistema de coordenadas elegido. De manera más general, un tensor de valencia (p,q) tiene índices p abajo y q índices arriba, siendo la ley de transformación
El concepto de campo tensorial se puede obtener especializando las transformaciones de coordenadas permitidas en suaves (o diferenciables, analíticas o de otros tipos). Un campo covectorial es una función de las coordenadas que se transforma según el jacobiano de las funciones de transformación (en la clase dada). Asimismo, un campo vectorial contravariante se transforma mediante el jacobiano inverso.
Haces tensoriales
Un haz tensorial es un fibrado en el que la fibra es un producto tensorial de cualquier número de copias del espacio tangente y/o del espacio cotangente del espacio base, que es una variedad. Como tal, la fibra es un espacio vectorial y el haz tensorial es un tipo especial de fibrado vectorial.
El haz de vectores es una idea natural de el espacio vectorial que depende continuamente (o suavemente) de los parámetros, siendo los parámetros los puntos de una variedad M. Por ejemplo, un espacio vectorial de una dimensión que depende de un ángulo podría verse como una banda de Möbius o, alternativamente, como un cilindro. Dado un paquete de vectores V sobre M, el concepto de campo correspondiente se llama sección del paquete: para m que varía sobre M, se puede elegir el vector
vm en Vm,
donde Vm es el espacio vectorial "en" m.
Dado que el concepto de producto tensorial es independiente de cualquier elección de base, tomar el producto tensorial de dos haces de vectores en M es algo mecánico. Comenzando con el fibrado tangente (el conjunto del espacio tangente), todo el aparato explicado en tratamiento sin componentes de tensores se traslada de forma rutinaria, nuevamente independientemente de las coordenadas, como se menciona en la introducción.
Por lo tanto, se puede dar una definición de campo tensorial, concretamente como una sección de algún haz de tensores (existen haces de vectores que no son haces tensoriales, como por ejemplo la banda de Möbius). Esto tiene entonces un contenido geométrico garantizado, ya que todo se ha hecho de manera intrínseca. Más precisamente, un campo tensorial asigna a cualquier punto dado de la variedad un tensor en el espacio
donde V es el espacio tangente en ese punto y V∗ es el espacio cotangente. Véase también fibrado tangente y fibrado cotangente.
Dados dos paquetes tensoriales E → M y F → M, una aplicación lineal A: Γ(E) → Γ( F) desde el espacio de las secciones de E a las secciones de F puede considerarse como una sección tensorial de si y solo si satisface que A(fs ) = fA(s), para cada sección s en Γ(E) y cada función suave f en M. Por lo tanto, una sección tensorial no es solo una aplicación lineal en el espacio vectorial de secciones, sino una aplicación lineal C∞(M) en el módulo de secciones. Esta propiedad se utiliza para comprobar, por ejemplo, que aunque la derivada de Lie y la derivada covariante no son tensores, el tensor de torsión y el tensor de curvatura construidos a partir de estas operaciones sí que lo son.
Notación
La notación de campos tensoriales a veces puede resultar confusamente similar a la notación de espacios tensoriales. Por lo tanto, el haz tangente TM = T(M) a veces puede escribirse como
para enfatizar que el haz tangente es el espacio de rango de los campos tensoriales (1,0) (es decir, campos vectoriales) en la variedad M. Esto no debe confundirse con la notación de aspecto muy similar.
en el último caso, solo se tiene un espacio tensorial, mientras que en el primero, se está manejando un espacio tensorial definido para cada punto de la variedad M.
A veces se utilizan letras cursivas (como escritas a mano: ) para indicar el conjunto de campos tensoriales infinitamente diferenciables en M. De este modo,
son las secciones del haz tensorial (m, n) en M que son infinitamente diferenciables. Un campo tensorial es un elemento de este conjunto.
Explicación del módulo C∞(M) Hay otra forma más abstracta (pero a menudo útil) de caracterizar campos tensoriales en una variedad M, que convierte los campos tensoriales en tensores puros (es decir, asignaciones multilineales simples), aunque de un tipo diferente (aunque esto no suele ser la razón por la que a menudo se habla de "tensores" cuando en realidad se está manejando un "campo tensorial"). Primero, se puede considerar el conjunto de todos los campos vectoriales suaves (C∞) en M, (consúltese la sección anterior sobre notación) como un espacio único: un módulo sobre el anillo de funciones suaves, C. ∞(M), mediante multiplicación escalar. Las nociones de multilinealidad y productos tensoriales se extienden fácilmente al caso de módulos sobre cualquier anillo conmutativo.
Como ejemplo de referencia, considérese el espacio de campos covectoriales suaves (1-formas), y también un módulo sobre las funciones suaves. En combinación, actúan sobre campos vectoriales suaves para producir funciones suaves mediante evaluación puntual, es decir, dado un campo covectorial ω y un campo vectorial X, se define
(ω(X))(p) = ω(p)(X(p)).
Debido a la naturaleza puntual de los elementos involucrados, la acción de ω sobre X es una aplicación lineal C∞(M), es decir,
(ω(fX))(p) = f(p)ω(p)( X(p)) = (fω)(p)(X(p)) = (fω( X))(p)
para cualquier p en M y función suave f. Por lo tanto, se pueden considerar los campos covectoriales no solo como secciones del haz cotangente, sino también como aplicaciones lineales de campos vectoriales en funciones. Mediante la construcción dual-dual, los campos vectoriales pueden expresarse de manera similar a una asignación de campos covectoriales en funciones (es decir, se podría comenzar "de forma nativa" con campos covectoriales y trabajar desde allí).
En paralelo a la construcción de tensores simples ordinarios (¡y no campos tensoriales!) en M como aplicaciones multilineales en vectores y covectores, se pueden considerar campos tensoriales generales (k,l) en M como C∞(M): aplicaciones multilineales definidas en l copias de y k copias de en C∞( M).
Ahora, dada cualquier asignación arbitraria T de un producto de k copias de y l copias de en C∞(M), resulta que surge de un campo tensorial en M si y solo si es multilineal sobre C∞(M). Así, este tipo de multilinealidad expresa implícitamente el hecho de que en realidad estamos tratando con un objeto definido puntualmente, es decir, un campo tensorial, a diferencia de una función que, incluso cuando se evalúa en un solo punto, depende de todos los valores de los campos vectoriales y 1-formas simultáneamente.