Al estudiar y formular la teoría de la relatividad general concebida por Albert Einstein, se utilizan varias estructuras y técnicas matemáticas. Las principales herramientas utilizadas para modelizar la geometría según la teoría de la gravedad son los campos tensoriales definidos sobre una variedad Lorentziana que representa el espacio-tiempo. Este artículo es una descripción general de las herramientas matemáticas implicadas en la relatividad general.
Nota: Los artículos de relatividad general que utilizan tensores utilizarán notación indexada abstracta.
Tensores El principio de covarianza general fue uno de los postulados centrales en el desarrollo de la relatividad general. Afirma que las leyes de la física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de referencia. El término "covarianza general" se utilizó en la formulación inicial de la relatividad general, pero ahora se suele hacer referencia al principio como "covarianza del difeomorfismo".
La covarianza del difeomorfismo no es la característica definitoria de la relatividad general, y persisten controversias sobre su estado actual en la relatividad general. Sin embargo, la propiedad de invariancia de las leyes físicas implícita en el principio, junto con el hecho de que la teoría es esencialmente de carácter geométrico (haciendo uso de geometrías no euclídeas), sugirió que la relatividad general se formulara utilizando el lenguaje de los tensores, lo que se analizará más adelante.
El espacio-tiempo como variedad
La mayoría de los enfoques matemáticos modernos de la relatividad general comienzan con el concepto de variedad. Más precisamente, la construcción física básica que representa la gravedad (un espacio-tiempo curvo), está modelada por una variedad lorentziana de cuatro dimensiones suave y conexa. Otros descriptores físicos están representados por varios tensores, que se analizan a continuación.
La razón para elegir una variedad como estructura matemática fundamental es reflejar determinadas propiedades físicas deseables. Por ejemplo, en la teoría de variedades, cada punto está contenido en un sistema de coordenadas (de ninguna manera único), y se puede considerar que este sistema representa el "espacio-tiempo local" alrededor del observador (representado por el punto). El principio de covarianza local de Lorentz, que establece que las leyes de la teoría de la relatividad especial se cumplen localmente sobre cada punto del espacio-tiempo, brinda mayor apoyo a la elección de una estructura múltiple para representar el espacio-tiempo, ya que localmente alrededor de un punto en una variedad general, la región "parece" , o se aproxima mucho al espacio-tiempo de Minkowski (un espacio-tiempo plano).
La idea del manejo de distintos sistemas de coordenadas considerándolos como "observadores locales que pueden realizar mediciones en sus proximidades" también tiene sentido desde el punto de vista físico, ya que así es como se recopilan los datos físicos: localmente; aunque para problemas cosmológicos un único sistema de coordenadas puede ser suficiente.
Estructura local frente a estructura global Una distinción importante en física es la diferencia entre estructuras locales y globales. Las mediciones en física se realizan en una región relativamente pequeña del espacio-tiempo y esta es una de las razones para estudiar la estructura local del espacio-tiempo en la relatividad general, mientras que determinar la estructura del espacio-tiempo global es importante, especialmente en problemas cosmológicos.
Un problema importante en la relatividad general es saber cuándo dos espacio-tiempos son "iguales", al menos localmente. Este problema tiene sus raíces en la teoría de variedades, donde se determina si dos variedades de Riemann de la misma dimensión son localmente isométricas ("localmente iguales"). Este último problema ha sido resuelto, y su adaptación a la relatividad general se denomina algoritmo de Cartan-Karlhede.
Tensores en la relatividad general
Una de las profundas consecuencias de la teoría de la relatividad fue la invalidación de la idea de la existencia de sistemas de referencia preferentes. La descripción de los fenómenos físicos no debería depender de quién realiza las mediciones: un sistema de referencia debería ser tan bueno como cualquier otro. La teoría de la relatividad especial demostró que ningún sistema de referencia inercial tenía preferencia sobre cualquier otro sistema de referencia inercial, pero sus predicciones encajaban perfectamente en los sistemas de referencia inerciales, pero no así en los no inerciales. La relatividad general eliminó la preferencia por los sistemas de referencia inerciales, al demostrar que no existe ningún sistema de referencia preferente (inercial o no) para describir la naturaleza.
Cualquier observador puede realizar mediciones y las cantidades numéricas precisas obtenidas solo dependen del sistema de coordenadas utilizado. Esto sugirió una forma de formular la relatividad utilizando "estructuras invariantes", aquellas que son independientes del sistema de coordenadas (representado por el observador) utilizado, pero que aun así tienen una existencia independiente. La estructura matemática más adecuada parecía ser un tensor. Por ejemplo, cuando se miden los campos eléctricos y magnéticos producidos por una carga acelerada, los valores de los campos dependerán del sistema de coordenadas utilizado, pero se considera que los campos tienen una existencia independiente, esta independencia está representada por el tensor de campo electromagnético.
Matemáticamente, los tensores son operadores lineales generalizados: aplicaciones multilineales. Como tales, las ideas del álgebra lineal se emplean para estudiar tensores.
En cada punto de una variedad se pueden construir los espacios tangente y las cotangente de la variedad en ese punto. Los vectores (a veces denominados vectores contravariantes) se definen como elementos del espacio tangente y los covectores (a veces denominados vectores covariantes, pero más comúnmente vectores duales o 1-formas) son elementos del espacio cotangente.
En , estos dos espacios vectoriales se pueden usar para construir tensores del tipo , que son aplicaciones multilineales de valor real que actúan sobre la suma directa de copias del espacio cotangente con copias del espacio tangente. El conjunto de todas estas aplicaciones multilineales forma un espacio vectorial, llamado espacio producto tensorial de tipo en y denotado por . Si el espacio tangente es n-dimensional, se puede demostrar que
En la literatura sobre la relatividad general, es habitual utilizar la sintaxis tensorial de las componentes.
Un tensor de tipo se puede escribir como
donde es una base para el espacio tangente i-ésimo y una base para el espacio cotangente j-ésimo.
Como se supone que el espacio-tiempo tiene cuatro dimensiones, cada índice de un tensor puede tener uno de cuatro valores. Por lo tanto, el número total de elementos que posee un tensor es igual a 4R, donde R es el recuento del número de índices covariantes y contravariantes en el tensor, (un número llamado rango del tensor).
Tensores simétricos y antisimétricos
Algunas cantidades físicas están representadas por tensores, no todos cuyos componentes son independientes. Ejemplos importantes de tales tensores incluyen tensores simétricos y antisimétricos. Los tensores antisimétricos se usan comúnmente para representar rotaciones (por ejemplo, el tensor de vorticidad).
Aunque un tensor de rango R genérico en 4 dimensiones tiene 4R componentes, las restricciones del tensor, como la simetría o la antisimetría, sirven para reducir el número de componentes distintos. Por ejemplo, un tensor simétrico de rango dos satisface que y posee 10 componentes independientes, mientras que un tensor antisimétrico de rango dos satisface que y tiene 6 componentes independientes. Para rangos mayores que dos, los pares de índices simétricos o antisimétricos deben identificarse explícitamente.
Los tensores antisimétricos de rango 2 juegan un papel importante en la teoría de la relatividad. El conjunto de todos estos tensores, a menudo llamados bivectores, forma un espacio vectorial de dimensión 6, a veces llamado espacio bivectorial.
Tensor métrico
El tensor métrico (que a menudo se denomina simplemente "la métrica") es un objeto central en la relatividad general, que describe la geometría local del espacio-tiempo (como resultado de resolver las ecuaciones del campo de Einstein). Usando la aproximación de campo débil, también se puede considerar que el tensor métrico representa el "potencial gravitatorio".
La métrica es un tensor simétrico, una potente herramienta matemática. Además de las operaciones de subir y bajar índices tensoriales, también genera conexiones que se utilizan para construir las ecuaciones del movimiento sobre líneas geodésicas derivadas del tensor de curvatura.
Una forma conveniente de expresar el tensor métrico en combinación con los intervalos incrementales de distancia de coordenadas con los que se relaciona es a través del elemento de línea:
Esta forma de expresar la métrica fue utilizada por los pioneros de la geometría diferencial. Si bien algunos físicos relativistas consideran que la notación está algo pasada de moda, la mayoría cambian fácilmente entre esta y la notación alternativa:Téngase en cuenta que la notación se utiliza generalmente para indicar el determinante del tensor métrico covariante, .
El tensor métrico se escribe comúnmente como una matriz de 4×4. Esta matriz es simétrica, y por tanto, tiene 10 componentes independientes.
Invariantes Una de las características centrales de la relatividad general es la idea de invariancia de las leyes físicas, que se puede describir de muchas maneras, como por ejemplo, en términos de la covarianza local de Lorentz, del principio general de la relatividad o de la covarianza del difeomorfismo.
Se puede dar una descripción más explícita utilizando tensores. La característica crucial de los tensores utilizados en este enfoque es el hecho de que (una vez dada una métrica) la operación de contracción de un tensor de rango R sobre todos los índices R da un número (un "invariante") que es independiente del sistema de coordenadas utilizado para realizar la contracción. Físicamente, esto significa que si dos observadores cualesquiera calculan el invariante, obtendrán el mismo número, lo que sugiere que el invariante tiene algún significado independiente. Algunas invariantes importantes en relatividad incluyen:
El escalar de Ricci: El escalar de Kretschmann:
Otros ejemplos de invariantes en la relatividad incluyen los invariantes electromagnéticos y varios otros invariantes de curvatura. Estos últimos encuentran aplicación en el estudio de la entropía gravitacional y en la hipótesis de la curvatura de Weyl.
Clasificaciones tensoriales La clasificación de tensores es un problema puramente matemático. En la relatividad general, sin embargo, ciertos tensores que tienen una interpretación física se pueden clasificar con las diferentes formas del tensor que generalmente corresponden a alguna física. Ejemplos de clasificaciones de tensores útiles en la relatividad general incluyen la clasificación de Segre del tensor de energía-impulso y la clasificación de Petrov del tensor de Weyl. Existen varios métodos para clasificar estos tensores, algunos de los cuales utilizan invariantes tensoriales.
Campos tensoriales en la relatividad general
Los campos tensoriales en una variedad son aplicaciones que adjuntan un tensor a cada punto de una variedad. Esta noción puede hacerse más precisa introduciendo la idea de fibrado, que en el presente contexto significa reunir todos los tensores en todos los puntos de la variedad, "agrupándolos" así en un gran objeto llamado haz de tensores. En consecuencia, un campo tensorial se define como una aplicación desde la variedad hasta el haz de tensores, estando cada punto asociado con un tensor en .